-
北師大初中數(shù)學八年級上冊平均數(shù)1教案
解析：本題是要求兩個未知數(shù)，即3和4的權．所以應把平均數(shù)與方程組綜合起來，利用平均數(shù)的定義來列方程，組成方程組求解．解：設投進3個球的有x人，投進4個球的有y人，由題意，得3x＋4y＋5×2＝3.5×（x＋y＋2），0×1＋1×2＋2×7＋3x＋4y＝2.5×（1＋2＋7＋x＋y）.整理，得x－y＝6，x＋3y＝18.解得x＝9，y＝3.答：投進3個球的有9人，投進4個球的有3人．方法總結(jié)：利用平均數(shù)的公式解題時，要弄清數(shù)據(jù)及相應的權，避免出錯．三、板書設計平均數(shù)算術平均數(shù)：x＝1n（x1＋x2＋…＋xn）加權平均數(shù)：x＝（x1f1＋x2f2＋…＋xnfn）f1＋f2＋…fn通過探索算術平均數(shù)和加權平均數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，培養(yǎng)學生的思維能力；通過有關平均數(shù)問題的解決，提升學生的數(shù)學應用能力．通過解決實際問題，體會數(shù)學與社會生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值，增進學生對數(shù)學的理解和增加學好數(shù)學的信心．
北師大初中數(shù)學八年級上冊函數(shù)1教案
探究點三：函數(shù)的圖象洗衣機在洗滌衣服時，每漿洗一遍都經(jīng)歷了注水、清洗、排水三個連續(xù)過程(工作前洗衣機內(nèi)無水)．在這三個過程中，洗衣機內(nèi)的水量y(升)與漿洗一遍的時間x(分)之間函數(shù)關系的圖象大致為()解析：∵洗衣機工作前洗衣機內(nèi)無水，∴A，B兩選項不正確，淘汰；又∵洗衣機最后排完水，∴D選項不正確，淘汰，所以選項C正確，故選C.方法總結(jié)：本題考查了對函數(shù)圖象的理解能力，看函數(shù)圖象要理解兩個變量的變化情況．三、板書設計函數(shù)定義：自變量、因變量、常量函數(shù)的關系式三種表示方法函數(shù)值函數(shù)的圖象在教學過程中，注意通過對以前學過的“變量之間的關系”的回顧與思考，力求提供生動有趣的問題情境，激發(fā)學生的學習興趣，并通過層層深入的問題設計，引導學生進行觀察、操作、交流、歸納等數(shù)學活動．在活動中歸納、概括出函數(shù)的概念，并通過師生交流、生生交流、辨析識別等加深學生對函數(shù)概念的理解．
北師大初中數(shù)學八年級上冊加減法1教案
已知xm－n＋1y與－2xn－1y3m－2n－5是同類項，求m和n的值．解析：根據(jù)同類項的概念，可列出含字母m和n的方程組，從而求出m和n.解：因為xm－n＋1y與－2xn－1y3m－2n－5是同類項，所以m－n＋1＝n－1，①3m－2n－5＝1.②整理，得m－2n＋2＝0，③3m－2n－6＝0.④④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以當m＝4，n＝3時，xm－n＋1y與－2xn－1y3m－2n－5是同類項．方法總結(jié)：解這類題，就是根據(jù)同類項的定義，利用相同字母的指數(shù)分別相等，列方程組求字母的值．三、板書設計用加減法解二元一次方程組的步驟：①變形，使某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等；②加減消元；③解一元一次方程；④求另一個未知數(shù)的值，得方程組的解．進一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數(shù)學研究中“化未知為已知”的化歸思想．選擇恰當?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M，培養(yǎng)學生的觀察、分析問題的能力．
北師大初中數(shù)學八年級上冊算術平方根2教案
1．細講概念、強化訓練要想讓學生正確、牢固地樹立起算術平方根的概念，需要由淺入深、不斷深化的過程．概念是由具體到抽象、由特殊到一般，經(jīng)過分析、綜合去掉非本質(zhì)特征，保持本質(zhì)屬性而形成的．概念的形成過程也是思維過程，加強概念形成過程的教學，對提高學生的思維水平是很有必要的．概念教學過程中要做到：講清概念，加強訓練，逐步深化．“講清概念”就是通過具體實例揭露算術平方根的本質(zhì)特征．算術平方根的本質(zhì)特征就是定義中指出的：“如果一個正數(shù) 的平方等于 ，即 ，那么這個正數(shù) 就叫做 的算術平方根，”的“正數(shù) ”，即被開方數(shù)是正的，由平方的意義， 也是正數(shù)，因此算術平方根也必須是正的．當然零的算術平方根是零.
北師大初中數(shù)學八年級上冊確定位置1教案
解析：要在地球儀上確定南昌市的位置，需要知道它的經(jīng)緯度，故選D.方法總結(jié)：本題考查了坐標確定位置，熟記位置的確定需要橫向與縱向的兩個數(shù)據(jù)是解題的關鍵．【類型二】 用“區(qū)域定位法”確定位置如圖所示是某市區(qū)的部分簡圖，文化宮在D2區(qū)，體育場在C4區(qū)，據(jù)此說明醫(yī)院在________區(qū)，陽光中學在________區(qū)．解析：本題首先給出的是表示文化宮和體育場的位置，即D2區(qū)和C4區(qū)，這就確定了本題中表示建筑物位置的方法，即字母表示列數(shù)，數(shù)字表示行數(shù)．故填A3，D5.方法總結(jié)：解此類題先要弄清區(qū)域定位法中字母及數(shù)字各自表示的含義，再用已知的表示方法來確定相關位置．三、板書設計確定位置有序?qū)崝?shù)對方位法經(jīng)緯度區(qū)域定位法將現(xiàn)實生活中常用的定位方法呈現(xiàn)給學生，進一步豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、概括的能力．教學過程中創(chuàng)設生動活潑、直觀形象、且貼近他們生活的問題情境；另一方面，為學生創(chuàng)造自主學習、合作交流的機會，促使他們主動參與、積極探究．
北師大初中數(shù)學八年級上冊確定位置2教案
第一環(huán)節(jié)感受生活中的情境，導入新課通過若干圖片，引導學生感受生活中常常需要確定位置.導入新課：怎樣確定位置呢？——§3.1確定位置。第二環(huán)節(jié)分類討論，探索新知1．溫故啟新（1）溫故：在數(shù)軸上,確定一個點的位置需要幾個數(shù)據(jù)呢? 答：一個，例如，若A點表示-2，B點表示3，則由-2和3就可以在數(shù)軸上找到A點和B點的位置?？偨Y(jié)得出結(jié)論：在直線上, 確定一個點的位置一般需要一個數(shù)據(jù)．（2）啟新：在平面內(nèi),又如何確定一個點的位置呢?請同學們根據(jù)生活中確定位置的實例，請談談自己的看法.2．舉例探究Ⅰ. 探究1（1）在電影院內(nèi)如何找到電影票上指定的位置？（2）在電影票上“6排3號”與“3排6號”中的“6”的含義有什么不同？（3）如果將“6排3號”簡記作（6，3），那么“3排6號”如何表示？（5，6）表示什么含義？ (4) 在只有一層的電影院內(nèi)，確定一個座位一般需要幾個數(shù)據(jù)？結(jié)論：生活中常常用“排數(shù)”和“號數(shù)”來確定位置. Ⅱ. 學有所用(1) 你能用兩個數(shù)據(jù)表示你現(xiàn)在所坐的位置嗎?
北師大初中數(shù)學八年級上冊認識無理數(shù)2教案
本節(jié)課中教師首先用拼圖游戲引發(fā)學生學習的欲望，把課程內(nèi)容通過學生的生活經(jīng)驗呈現(xiàn)出來，然后進行大膽置疑，生活中的數(shù)并不都是有理數(shù)，那它們究竟是什么數(shù)呢？從而引發(fā)了學生的好奇心，為獲取新知，創(chuàng)設了積極的氛圍．在教學中，不要盲目的搶時間，讓學生能夠充分的思考與操作．（二）化抽象為具體常言道：“數(shù)學是鍛煉思維的體操”，數(shù)學教師應通過一系列數(shù)學活動開啟學生的思維，因此對新數(shù)的學習不能僅僅停留于感性認識，還應要求學生充分理解，并能用恰當數(shù)學語言進行解釋．正是基于這個原因，在教學過程中，刻意安排了一些環(huán)節(jié)，加深對新數(shù)的理解，充分感受新數(shù)的客觀存在，讓學生覺得新數(shù)并不抽象．（三）強化知識間聯(lián)系，注意糾錯既然稱之為“新數(shù)”，那它當然不是有理數(shù)，亦即不是整數(shù)，也不是分數(shù)，所以“新數(shù)”不可以用分數(shù)來表示，這為進一步學習“新數(shù)”，即第二課時教學埋下了伏筆，在教學中，要著重強調(diào)這一點：“新數(shù)”不能表示成分數(shù)，為無理數(shù)的教學奠好基．
北師大初中數(shù)學八年級上冊認識無理數(shù)1教案
解：有理數(shù)：3.14，－53，0.58··，－0.125，0.35，227；無理數(shù)：－5π，5.3131131113…(相鄰兩個3之間1的個數(shù)逐次加1)．方法總結(jié)：有理數(shù)與無理數(shù)的主要區(qū)別．(1)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，而有理數(shù)可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示．(2)任何一個有理數(shù)都可以化為分數(shù)形式，而無理數(shù)則不能．探究點二：借助計算器用“夾逼法”求無理數(shù)的近似值正數(shù)x滿足x2＝17，則x精確到十分位的值是________．解析：已知x2＝17，所以417，所以4.117，所以4.120)中的正數(shù)x各位上的數(shù)字的方法：(1)估計x的整數(shù)部分，看它在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間，較小數(shù)即為整數(shù)部分；(2)確定x的十分位上的數(shù)，同樣尋找它在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間；(3)按照上述方法可以依次確定x的百分位、千分位、…上的數(shù)，從而確定x的值．
北師大初中八年級數(shù)學下冊不等關系教案
A．20x－55≥350 B．20x＋55≥350C．20x－55≤350 D．20x＋55≤350解析：此題中的不等關系：現(xiàn)在已存有55元，計劃從現(xiàn)在起以后每個月節(jié)省20元．若此學生平板電腦至少需要350元．列出不等式20x＋55≥350.故選B.方法總結(jié)：用不等式表示數(shù)量關系時，要找準題中表示不等關系的兩個量，并用代數(shù)式表示；正確理解題中的關鍵詞，如負數(shù)、非負數(shù)、正數(shù)、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超過、至少、至多等的含義．三、板書設計1．不等式的概念2．列不等式(1)找準題目中不等關系的兩個量，并且用代數(shù)式表示；(2)正確理解題目中的關鍵詞語的確切含義；(3)用與題意符合的不等號將表示不等關系的兩個量的代數(shù)式連接起來；(4)要正確理解常見不等式基本語言的含義．本節(jié)課通過實際問題引入不等式，并用不等式表示數(shù)量關系．要注意常用的關鍵詞的含義：負數(shù)、非負數(shù)、正數(shù)、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超過，這些關鍵詞中如果含有“不”“非”等文字，一般應包括“＝”，這也是學生容易出錯的地方.
北師大初中八年級數(shù)學下冊角平分線教案
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵AC＝AD，OC＝OD，AO＝AO，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法總結(jié)：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．三、板書設計1．角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．2．角平分線的判定定理在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．本節(jié)課由于采用了動手操作以及討論交流等教學方法，從而有效地增強了學生對角以及角平分線的性質(zhì)的感性認識，提高了學生對新知識的理解與感悟，因而本節(jié)課的教學效果較好，學生對所學的新知識掌握較好，達到了教學的目的．不足之處是少數(shù)學生在性質(zhì)的運用上還存在問題，需要在今后的教學與作業(yè)中進一步的加強鞏固和訓練.
北師大初中八年級數(shù)學下冊平方差公式教案
答：所有陰影部分的面積和是5050cm2.方法總結(jié)：首先應找出圖形中哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．三、板書設計1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特點：能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．運用平方差公式因式分解，首先應注意每個公式的特征．分析多項式的次數(shù)和項數(shù)，然后再確定公式．如果多項式是二項式，通?？紤]應用平方差公式；如果多項式中有公因式可提，應先提取公因式，而且還要“提”得徹底，最后應注意兩點：一是每個因式要化簡，二是分解因式時，每個因式都要分解徹底.
北師大初中數(shù)學九年級上冊黃金分割1教案
解析：想要看起來更美，則鞋底到肚臍的長度與身高之比應為黃金比，此題應根據(jù)已知條件求出肚臍到腳底的距離，再求高跟鞋的高度.解：設肚臍到腳底的距離為x m，根據(jù)題意，得x1.60＝0.60，解得x＝0.96.設穿上y m高的高跟鞋看起來會更美，則y＋0.961.60＋y＝0.618.解得y≈0.075，而0.075m＝7.5cm.故她應該穿約為7.5cm高的高跟鞋看起來會更美.易錯提醒：要準確理解黃金分割的概念，較長線段的長是全段長的0.618.注意此題中全段長是身高與高跟鞋鞋高之和.三、板書設計黃金分割定義：一般地，點C把線段AB分成兩條線段AC 和BC，如果ACAB＝BCAC，那么稱線段AB被點 C黃金分割黃金分割點：一條線段有兩個黃金分割點黃金比：較長線段：原線段＝5－12：1 經(jīng)歷黃金分割的引入以及黃金分割點的探究過程，通過問題情境的創(chuàng)設和解決過程，體會黃金分割的文化價值，在應用中進一步理解相關內(nèi)容，在實際操作、思考、交流等過程中增強學生的實踐意識和自信心.感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學的思維方式，增進數(shù)學學習的興趣.
北師大初中數(shù)學九年級上冊黃金分割2教案
2.如何找一條線段的黃金分割點，以及會畫黃金矩形.3.能根據(jù)定義判斷某一點是否為一條線段的黃金分割點.Ⅳ.課后作業(yè)習題4.8Ⅴ.活動與探究要配制一種新農(nóng)藥，需要兌水稀釋，兌多少才好呢？太濃太稀都不行.什么比例最合適，要通過試驗來確定.如果知道稀釋的倍數(shù)在1000和2000之間，那么，可以把1000和2000看作線段的兩個端點，選擇AB的黃金分割點C作為第一個試驗點，C點的數(shù)值可以算是1000+（2000－1000）×0.618= 1618.試驗的結(jié)果，如果按1618倍，水兌得過多，稀釋效果不理想，可以進行第二次試 驗.這次的試驗點應該選AC的黃金分割點D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，約等于1382，如果D點還不理想，可以按黃金分割的方法繼續(xù)試驗下去.如果太濃，可以選DC之間的黃金分割 點 ；如果太稀，可以選AD之間的黃金分割點，用這樣的方法，可以較快地找到合適的濃度數(shù)據(jù).這種方法叫做“黃金分割法”.用這樣的方法進行科學試驗，可以用最少的試驗次數(shù)找到最佳的數(shù)據(jù)，既節(jié)省了時間，也節(jié)約了原材料.●板書設計
北師大初中八年級數(shù)學下冊因式分解教案
解：設另一個因式為2x2－mx－k3，∴(x－3)(2x2－mx－k3)＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－mx2－k3x－6x2＋3mx＋k＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－(m＋6)x2－(k3－3m)x＋k＝2x3－5x2－6x＋k，∴m＋6＝5，k3－3m＝6，解得m＝－1，k＝9，∴k＝9，∴另一個因式為2x2＋x－3.方法總結(jié)：因為整式的乘法和分解因式互為逆運算，所以分解因式后的兩個因式的乘積一定等于原來的多項式．三、板書設計1．因式分解的概念把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解．2．因式分解與整式乘法的關系因式分解是整式乘法的逆運算．本課是通過對比整式乘法的學習，引導學生探究因式分解和整式乘法的聯(lián)系，通過對比學習加深對新知識的理解．教學時采用新課探究的形式，鼓勵學生參與到課堂教學中，以興趣帶動學習，提高課堂學習效率.
北師大初中數(shù)學九年級上冊反比例函數(shù)2教案
2、某村有耕地346.2公頃，人口數(shù)量n逐年發(fā)生變化，那么該村人均占有耕地面積m（公頃/人）是全村人口數(shù)n的函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？為什么？3、y是x的反比例函數(shù)，下表給出了x與y的一些值： （1）寫出這個反比例函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)表達式完成上表。教師巡視個別輔導，學生完畢教師給予評估肯定。II鞏固練習：限時完成課本“隨堂練習”1-2題。教師并給予指導。七、總結(jié)、提高。（結(jié)合板書小結(jié)）今天通過生活中的例子，探索學習了反比例函數(shù)的概念，我們要掌握反比例函數(shù)是針對兩種變化量，并且這兩個變化的量可以寫成 （k為常數(shù)，k≠0）同時要注意幾點：：①常數(shù)k≠0；②自變量x不能為零（因為分母為0時，該式?jīng)]意義）；③當 可寫為 時注意x的指數(shù)為—1。④由定義不難看出，k可以從兩個變量相對應 的任意一對對應值的積來求得，只要k確定了，這個函數(shù)就確定了。
北師大初中八年級數(shù)學下冊旋轉(zhuǎn)作圖教案
解析：整個陰影部分比較復雜和分散，像此類問題通常使用割補法來計算．連接BD、AC，由正方形的對稱性可知，AC與BD必交于點O，正好把左下角的陰影部分分成(Ⅰ)與(Ⅱ)兩部分(如圖②)，把陰影部分(Ⅰ)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°至陰影部分①處，把陰影部分(Ⅱ)繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°至陰影部分②處，使整個陰影部分割補成半個正方形．解：如圖②，把陰影部分(Ⅰ)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°至陰影部分①處，把陰影部分(Ⅱ)繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°至陰影部分②處，使原陰影部分變?yōu)槿鐖D②的陰影部分，即正方形的一半，故陰影部分面積為12×10×10＝50(cm2)．方法總結(jié)：本題是利用旋轉(zhuǎn)的特征：旋轉(zhuǎn)前、后圖形的形狀和大小不變，把圖形利用割補法補全為一個面積可以計算的規(guī)則圖形．三、板書設計1．簡單的旋轉(zhuǎn)作圖2．旋轉(zhuǎn)圖形的應用教學過程中，強調(diào)學生自主探索和合作交流，經(jīng)歷觀察、歸納和動手操作，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖.
北師大初中九年級數(shù)學下冊垂徑定理教案
方法總結(jié)：垂徑定理雖是圓的知識，但也不是孤立的，它常和三角形等知識綜合來解決問題，我們一定要把知識融會貫通，在解決問題時才能得心應手．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題【類型三】 動點問題如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個動點，求OP的長度范圍．解析：當點P處于弦AB的端點時，OP最長，此時OP為半徑的長；當OP⊥AB時，OP最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時OP的長．解：作直徑MN⊥弦AB，交AB于點D，由垂徑定理，得AD＝DB＝12AB＝4cm.又∵⊙O的直徑為10cm，連接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝OA2－AD2＝3cm.∵垂線段最短，半徑最長，∴OP的長度范圍是3cm≤OP≤5cm.方法總結(jié)：解題的關鍵是明確OP最長、最短時的情況，靈活利用垂徑定理求解．容易出錯的地方是不能確定最值時的情況．
北師大初中數(shù)學九年級上冊相似多邊形1教案
（2）如果對應著的兩條小路的寬均相等，如圖②，試問小路的寬x與y的比值是多少時，能使小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？解析：（1）根據(jù)兩矩形的對應邊是否成比例來判斷兩矩形是否相似；（2）根據(jù)矩形相似的條件列出等量關系式，從而求出x與y的比值.解：（1）矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似.理由如下：假設兩個矩形相似，不妨設小路寬為xm，則30＋2x30＝20＋2x20，解得x＝0.∵由題意可知，小路寬不可能為0，∴矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；（2）當x與y的比值為3：2時，小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.理由如下：若矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，則30＋2x30＝20＋2y20，所以xy＝32.∴當x與y的比值為3：2時，小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.方法總結(jié)：因為矩形的四個角均是直角，所以在有關矩形相似的問題中，只需看對應邊是否成比例，若成比例，則相似，否則不相似.
北師大初中數(shù)學九年級上冊相似多邊形2教案
(2)相似多邊形的對應邊的比稱為相似比；(3)當相似比為1時，兩個多邊形全等．二、運用相似多邊形的性質(zhì)．活動3 例：如圖27.1-6，四邊形ABCD和EFGH相似，求角 的大小和EH的長度 ．27.1-6教師活動:教師出示例題，提出問題；學生活動:學生通過例題運用相似多邊形的性質(zhì)，正確解答出角 的大小和EH的長度 ．(2人板演)活動41．在比例尺為1﹕10 000 000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30 cm，求兩地的實際距離．2．如圖所示的兩個直角三角形相似嗎？為什么？3．如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊 、 、 、 的長度．教師活動:在活動中,教師應重點關注：（1）學生參與活動的熱情及語言歸納數(shù)學結(jié)論的能力；（2）學生對于相似多邊形的性質(zhì)的掌握情況．三、回顧與反思．(1)談談本節(jié)課你有哪些收獲．(2)布置課外作業(yè)：教材P88頁習題4.4
北師大初中九年級數(shù)學下冊切線長定理教案
(3)若要滿足結(jié)論，則∠BFO＝∠GFC，根據(jù)切線長定理得∠BFO＝∠EFO，從而得到這三個角應是60°，然后結(jié)合已知的正方形的邊長，也是圓的直徑，利用30°的直角三角形的知識進行計算．解：(1)FB＝FE，PE＝PA；(2)四邊形CDPF的周長為FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA＝BC＋CD＋DA＝23×3＝63；(3)假設存在點P，使BF·FG＝CF·OF.∴BFOF＝CFFG.∵cos∠OFB＝BFOF，cos∠GFC＝CFFG，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝OBtan∠OFB＝OBtan60°＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF·tan∠GFC＝CF·tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴DP＝DG·tan∠PGD＝DG·tan30°＝23－3，∴AP＝AD－DP＝23－(23－3)＝3.方法總結(jié)：由于存在性問題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開放的特征，在假設存在性以后進行的推理或計算．一般思路是：假設存在——推理論證——得出結(jié)論．若能導出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，若導出矛盾，就做出“不存在”的判斷．