等比數(shù)列的概念(2)教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A. 能夠運用等比數(shù)列的知識解決簡單的實際問題．

B．能夠運用等比數(shù)列的性質解決有關問題．

1.數(shù)學抽象：等比數(shù)列的性質

2.邏輯推理：類比等差數(shù)列性質推導等比數(shù)列性質

3.數(shù)學運算：等比數(shù)列的運用

4.數(shù)學建模：運用等比數(shù)列解決實際問題

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、溫故知新

二、典例解析

例4. 用 10 000元購買某個理財產(chǎn)品一年.

（1）若以月利率的復利計息，12個月能獲得多少利息（精確到1元）？

（2）若以季度復利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結算的利息不少于按月結算的利息（精確到）？

分析：復利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計算下一期的利息.所以若原始本金為元，每期的利率為，則從第一期開始，各期的本利和, ，…構成等比數(shù)列.

解：（1）設這筆錢存?zhèn)€月以后的本利和組成一個數(shù)列，

則是等比數(shù)列，

首項，公，

所以.

所以，12個月后的利息為（元）.

解：（2）設季度利率為，這筆錢存?zhèn)€季度以后的本利和組成一個數(shù)列，則也是一個等比數(shù)列，

首項，公比為，

于是.

因此，以季度復利計息，存4個季度后的利息為元.

解不等式，得.

所以，當季度利率不小于時，按季結算的利息不少于按月結算的利息.

一般地，涉及產(chǎn)值增長率、銀行利息、細胞繁殖等實際問題時，往往與等比數(shù)列有關，可建立等比數(shù)列模型進行求解．

跟蹤訓練1. 2017年，某縣甲、乙兩個林場森林木材的存量分別為16a和25a，

甲林場木材存量每年比上一年遞增25%，而乙林場木材存量每年比上一年遞減20%.

(1)哪一年兩林場木材的總存量相等？

(2)兩林場木材的總量到2021年能否翻一番？

解：(1)由題意可得

16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，

解得n＝2，

故到2019年兩林場木材的總存量相等．

(2)令n＝5，則a5＝16a4＋25a4<2(16a＋25a)，

故到2021年不能翻一番．

例5.已知數(shù)列的首項.

（1）若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若為等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列.

分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對數(shù)的知識進行證明。

證明（1）：由，得的通項公式為.

設，則： ，

又,

所以，是以 27為首項，9為公比的等比數(shù)列.

證明（2）：由, ,得

兩邊取以3為底的對數(shù)，得

所以 .又 ，

所以，是首項為1，公差為的等差數(shù)列.

是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列；

2.若數(shù)列是各項均為正的等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列

例6.某工廠去年12月試產(chǎn)1050個高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎上提高，產(chǎn)品合格率比前一個月增加，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個以內？

分析：設從今年1月起各月的產(chǎn)量及合格率分別構成數(shù)列，,則各月不合格品的數(shù)量構成數(shù)列，由題意可知，數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列,由于數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，所以可以先列表觀察規(guī)律，再尋求問題的解決方法.

解：（1）設從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構成數(shù)列，由題意，

則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是

由計算工具計算（精確到0.1），并列表

觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列先遞增，在第6項以后遞減，所以只要設法證明當時，遞減，且<100即可.

由 ，

得

所以，當時，遞減

又<100,

所以當24時, <100

所以，生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格的數(shù)量能控制在100個以內.

通過與等差數(shù)列進行對比，發(fā)展學生類比思維能力，加強記憶。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過運用等比數(shù)列模型，解決實際問題。發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。增強應用意識。

通過典型例題，加深對等差與等比數(shù)列概念的理解，體會等差與等比數(shù)列的內在聯(lián)系。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素。

通過典型例題，加深學生對等比數(shù)列綜合運用能力。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素

三、達標檢測

1．（2021江蘇南通市高二期末）在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù). 一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假定某種傳染病的基本傳染數(shù)，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到2000人大約需要的傳染輪數(shù)為（ ）

注：初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人再傳染個人為第二輪感染.

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【詳解】設經(jīng)過第輪傳染，感染人數(shù)為，經(jīng)過第一輪感染后，，經(jīng)過第二輪感染后，，于是可以得知經(jīng)過傳染，每一輪感染總人數(shù)構成等比數(shù)列，所以經(jīng)過第輪傳染，感染人數(shù)為，當時，解得，

因此感染人數(shù)由1個初始感染者增加到2000人大約需要的傳染輪數(shù)為6輪.

2．（2021北京高二期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則 .

【答案】10

【詳解】解：因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且

所以

3.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an＋n－4.

(1)求a1的值．

(2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．

分析：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的關系得{an}的遞推關系，然后構造出數(shù)列{an－1}利用定義證明．

解: (1)因為Sn＝2an＋n－4，

所以當n＝1時，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.

(2)證明：因為Sn＝2an＋n－4，

所以當n≥2時，

Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，

Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，

所以an－1＝2(an－1－1)，

又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，

且b1＝a1－1＝2≠0，

所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列．

4.已知a,b,c,x,y,z都是不等于1的正數(shù),且ax=by=cz,成等差數(shù)列.求證:a,b,c成等比數(shù)列.

證明:令ax=by=cz=m(m>0).

則x=logam,于是=logma,同理=logmb,=logmc,

因為成等差數(shù)列,

所以,即2logmb=logma+logmc.

因此logmb2=logm(ac),故b2=ac.

所以a,b,c成等比數(shù)列.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。