全稱量詞與存在量詞教學設計（2）

本節(jié)內容比較抽象，首先從命題出發(fā)，分清命題的條件和結論，然后看條件的特征得出全稱量詞命題及存在量詞命題，從而判斷命題的真假；然后歸納總結出含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律.

課程目標

1.理解全稱量詞與存在量詞的含義,熟悉常見的全稱量詞和存在量詞.

2.了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義,并能用數學符號表示含有量詞的命題及判斷命題的真假性.

3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定,理解全稱命題與特稱命題之間的關系.

數學學科素養(yǎng)

1.數學抽象：全稱量詞命題、存在量詞命題與全稱量詞命題的否定與存在量詞命題的否定的理解；

2.邏輯推理：通過實例得出全稱量詞命題、存在量詞命題含義，并通過兩者的聯系與區(qū)別得出全稱量詞命題與存在量詞命題的否定；

3.數學運算：關于命題真假的判斷；

4.數據分析：含有一個量詞的命題的否定；

5.數學建模：通過對全稱量詞命題、存在量詞命題概念的理解和運用，培養(yǎng)學生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力。

重點：通過生活和數學中的豐富實例，理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．

難點：全稱命題和特稱命題的真假的判定，以及寫出含有一個量詞的命題的否定.

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 問題導入：

下列語句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？

（1）2x＋１是整數；

(2) x＞３；

(3) 對所有的；

(4) 對任意一個是整數.

(5) 至少有一個能被2和3整除；

(6) 存在有一個使2+1=3

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、 預習課本，引入新課

閱讀課本24-29頁，思考并完成以下問題

1.什么是全稱量詞？常見的全稱量詞有哪些？怎樣表示全稱量詞命題？

2.什么是存在量詞？常見的存在量詞有哪些？怎樣表示存在量詞命題？

3.什么是命題的否定？

4.怎樣表示全稱量詞命題的否定？

5.怎樣表示存在量詞命題的否定？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題，教師巡視指導，解答學生在自主學習中遇到的困惑過程。

三、新知探究，知識梳理

1.全稱量詞與全稱命題

(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“?”表示.

(2)含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.

(3)全稱量詞命題的表述形式:對M中任意一個x,有p(x)成立,可簡記為:?x∈M,p(x),讀作“對任意x屬于M,有p(x)成立”.

(4)全稱量詞命題的真假判斷:要判斷一個全稱命題量詞是真命題,必須對限定集合M中的每一個元素x,驗證p(x)成立;但要判斷一個全稱量詞命題是假命題,只需列舉出一個∈M,使得p()不成立即可.

2.存在量詞與存在量詞命題

(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“?”表示.

(2)含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.

(3)存在量詞命題的表述形式:存在M中的一個,使p()成立,可簡記為:?∈M,p(),讀作“存在M中的元素,使p()成立”.

(4)存在量詞命題的真假判斷:要判斷一個存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,能找到一個,使得命題p()成立即可;否則這一命題就是假命題.

3.全稱命題與特稱命題的否定

4.點撥：

（1）常用的全稱量詞還有“所有”“每一個”“任何”“任意”“一切”“任給”“全部”.只要含有這些量詞,或者命題具有全稱量詞所表達的含義,就是全稱量詞命題.

（2）常用的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“存在”、“某個”、“有的”等.只要含有這些量詞,或者命題具有特稱量詞所表達的含義,就是存在量詞命題.

（3）寫出一個全稱量詞命題或存在量詞命題的否定時,通常要將命題的兩個地方進行改變,一是量詞符號要改變,二是結論要進行否定.

（4）全稱量詞命題(或存在量詞命題)與其否定的真假性恰好相反.

四、典例分析、舉一反三

題型一 全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析

例1 判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題:

(1)負數沒有對數;

(2)至少有一個整數,它既能被2整除,又能被5整除;

(3)?x∈{x|x是無理數},是無理數;

(4) 是無理數}，是無理數.

【答案】(1)和(3)為全稱量詞命題;(2)和(4)為存在量詞命題.

解題技巧：（判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的方法）

(1)分析命題中所含的量詞,含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題,含有存在量詞的命題是存在量詞命題.

(2)當命題中不含量詞時,要注意根據命題的含義進行判斷.

(3)全稱量詞命題有時會省略全稱量詞,但存在量詞命題的量詞一般不能省略.

跟蹤訓練一

1.下列命題中,是全稱量詞命題的是_____,是存在量詞命題的是_______.(填序號)

①正方形的四條邊相等;②有兩個角是45的三角形是等腰直角三角形;③正數的平方根不等于0;④至少有一個正整數是偶數.

【答案】①②③ ④

題型二 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷

例2 判斷下列命題的真假

1.所有的素數都是奇數；

2.

3.有一個實數 ，使

4.平面內存在兩條相交直線垂直于同一條直線。

【答案】真命題：2,4 假命題：1,3

解題技巧：(全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷技巧)

(1)全稱量詞命題:要判定一個全稱量詞命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立;但要判定全稱量詞 命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個x=x0,使得p(x0)不成立即可.

(2)存在量詞命題:要判定一個存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個x=x0,使p(x0)成立即可;否則,這一存在量詞命題就是假命題.

跟蹤訓練二

2．給出下列命題:①有一個實數x,使tan x無意義;②?x∈R,3-x+1>2;③所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑.其中真命題的個數是( )

A.1 B.2 C.3 D.0

【答案】 B

題型三 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

例3 寫出下列命題的否定,并判斷其真假:

(1)有些質數是奇數;

(2)菱形的對角線互相垂直;

(4)不論m取何實數,方程x2+2x-m=0都有實數根.

【答案】見解析

【解析】(1)“有些質數是奇數”是存在量詞命題,其否定為“所有質數都不是奇數”,它是假命題.

（2）“菱形的對角線互相垂直”是全稱量詞命題,其否定為“有的菱形的對角線不垂直”,它是假命題.

（3）是存在量詞命題，其否定為，它是真命題。