同角三角函數的基本關系教學設計（2）

本節(jié)內容是學生學習了任意角和弧度制，任意角的三角函數后，安排的一節(jié)繼續(xù)深入學習內容，是求三角函數值、化簡三角函數式、證明三角恒等式的基本工具，是整個三角函數知識的基礎，在教材中起承上啟下的作用。同時，它體現的數學思想與方法在整個中學數學學習中起重要作用。

課程目標

1.理解并掌握同角三角函數基本關系式的推導及應用．

2.會利用同角三角函數的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明．

數學學科素養(yǎng)

1.數學抽象：理解同角三角函數基本關系式；

2.邏輯推理： “sin αcos α”同“sin αcos α”間的關系；

3.數學運算：利用同角三角函數的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明

重點：理解并掌握同角三角函數基本關系式的推導及應用；

難點：會利用同角三角函數的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明．

教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

公式一表明終邊相同的角的三角函數值相等，那么，終邊相同的角的三個三角函數值之間是否也有某種關系呢？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本182-183頁，思考并完成以下問題

1．同角三角函數的基本關系式有哪兩種？

2．同角三角函數的基本關系式適合任意角嗎？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．同角三角函數的基本關系

(1)平方關系：sin2 α＋cos2 α＝1.

商數關系：＝tan_α.

(2)語言敘述：同一個角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．

思考：“同角”一詞的含義是什么？

[提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是對任意一個角(在使得函數有意義的前提下)，關系式都成立，即與角的表達式形式無關，如sin215＋cos215＝1，sin2＋cos2＝1等．

四、典例分析、舉一反三

題型一 應用同角三角函數關系求值

例1 (1)若，求cos α，tan α的值；

(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

【答案】(1)當α是第三象限角時，cos α＝－，tan α＝.

α是第四象限角時，cosα＝，tan α＝-

(2)如果α是第二象限角，那么sin α＝，tan α＝－.

如果α是第三象限角， sin α＝－，tan α＝.

【解析】(1)∵sin α＝－，α是第三、第四象限角，

當α是第三象限角時，

cosα＝－＝－，tan α＝＝.

α是第四象限角時，

cosα＝＝，tan α＝＝-

(2) ∵cos α＝－＜0，

∴α是第二或第三象限的角．

如果α是第二象限角，那么

sin α＝＝＝，

tan α＝＝＝－.

如果α是第三象限角，同理可得

sin α＝－＝－，tan α＝.

解題技巧：（利用同角三角函數的基本關系解決給值求值問題的方法）

(1)已知角α的某一種三角函數值，求角α的其余三角函數值，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關系，再用商數關系．

(2)若角α所在的象限已經確定，求另兩種三角函數值時，只有一組結果；若角α所在的象限不確定，應分類討論，一般有兩組結果．

提醒：應用平方關系求三角函數值時，要注意有關角終邊位置的判斷，確定所求值的符號．

跟蹤訓練一

1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．

【答案】角α的終邊在第二象限時，cos α＝－，sin α＝；

當角α的終邊在第四象限時，cos α＝，sin α＝－.

【解析】 ∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，

∴cos α＝.

又由sin α＝－3cos α，可知sin α與cos α異號，

∴角α的終邊在第二或第四象限．

當角α的終邊在第二象限時，cos α＝－，sin α＝；

當角α的終邊在第四象限時，cos α＝，sin α＝－.

題型二 三角函數式的化簡、求值

例2 (1)化簡：；

(2)若角α是第二象限角，化簡：tan α.

【答案】（1）1； （2）-1.

【解析】 (1)原式＝

＝＝＝1.

(2)原式＝tan α＝tan α＝，因為α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝＝＝－1.

解題技巧：(化簡三角函數式的常用方法)

1、切化弦，即把非正弦、余弦函數都化成正弦、余弦函數，從而減少函數種類以便化簡.

2、對含有根號的，常把根號下式子化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的

3、對于化簡高次的三角函數式，往往借助于因式分解，或用“1”的代換，以降低函數次數，達到化簡目的.

提醒：在應用平方關系式求sin α或cos α時，其正負號是由角α所在的象限決定，不可憑空想象.

跟蹤訓練二

1．化簡：(1)；

(2).

【答案】(1)1；(2) cos θ.

【解析】 (1)原式＝＝＝＝＝1.

(2)原式＝＝＝cos θ.

題型三三角函數式的證明

例3 求證：.

【答案】見解析

【解析】

解題技巧：（三角函數式解題思路及解題技巧）

1．證明恒等式常用的思路是：(1)從一邊證到另一邊，一般由繁到簡；(2)左右開弓，即證左邊、右邊都等于第三者；(3)比較法(作差，作比法)．

2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代換；(2)化切為弦；(3)多項式運算技巧的應用(分解因式)．

3．解決此類問題要有整體代換思想．

跟蹤訓練三

1．求證：＝.

【答案】見解析

【解析】證明： 右邊＝＝

＝＝＝左邊，

∴原等式成立．

題型四 “sin αcos α”同“sinαcos α”間的關系

例4已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π.

求：(1)sinαcos α的值；

(2)求sin α－cos α的值．

【答案】(1)－； (2).

【解析】證明：(1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，

∴1＋2sin αcosα＝，即sin αcos α＝－.

(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.

又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，

∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，

∴sin α－cos α＝.

解題方法（ “sin αcos α”同“sin αcos α”間的關系）

1、已知sin θcos θ求sin θcos θ，只需平方便可．

2、已知sin θcos θ求sin θcos θ時需開方，此時要根據已知角θ的范圍，確定sin θcos θ的正負．

跟蹤訓練四

1.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則tan α＝ ．

2.已知＝2，計算下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α－2sin αcosα＋1.

1、【答案】－.

【解析】法一：(構建方程組)

因為sin α＋cos α＝，①

所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，