分類變量與列聯(lián)表教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 通過(guò)對(duì)典型案例的探究,了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法

及初步應(yīng)用.

B.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理和分析,增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐能力,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、

解決問(wèn)題的能力.

1.數(shù)學(xué)抽象：從特殊實(shí)例到一般原理

2.邏輯推理：獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：獨(dú)立檢驗(yàn)的運(yùn)用

4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

前面兩節(jié)所討論的變量,如人的身高、樹(shù)的胸徑、樹(shù)的高度、短跑100m世界紀(jì)錄和創(chuàng)紀(jì)錄的時(shí)間等,都是數(shù)值變量,數(shù)值變量的取值為實(shí)數(shù).其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義.

在現(xiàn)實(shí)生活中,人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問(wèn)題.例如,就讀不同學(xué)校是否對(duì)學(xué)生的成績(jī)有影響,不同班級(jí)學(xué)生用于體育鍛煉的時(shí)間是否有差別,吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn),等等,本節(jié)將要學(xué)習(xí)的獨(dú)立性檢驗(yàn)方法為我們提供了解決這類問(wèn)題的方案。

在討論上述問(wèn)題時(shí),為了表述方便,我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機(jī)變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示,例如,學(xué)生所在的班級(jí)可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示,等等.在很多時(shí)候,這些數(shù)值只作為編號(hào)使用,并沒(méi)有通常的大小和運(yùn)算意義,本節(jié)我們主要討論取值于{0,1}的分類變量的關(guān)聯(lián)性問(wèn)題.

二、探究新知

問(wèn)題1. 為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查,全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉;601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉。你能利用這些數(shù)據(jù),說(shuō)明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?

所以該校的女生和男生在體育鍛等的經(jīng)常性方面有差異,而且男生更經(jīng)常鍛煉.

用n表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合,這是我們所關(guān)心的對(duì)象的總體,考慮以n為樣本空間的古典概型,并定義一對(duì)分類變量X和Y如下:對(duì)于Ω中的每一名學(xué)生,

分別令，,

“性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響”可以描述為P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1);

“性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響”可以描述為P(Y=1|X=0)≠P(Y=1|X=1).

我們希望通過(guò)比較條件概率P(Y=1|X=0)和P(Y=1|X=1)回答上面的問(wèn)題.按照條件本概率的直觀解釋,

如果從該校女生和男生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生,那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是P(Y=1|X=0),

而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是P(Y=1|X=1).

為了清楚起見(jiàn),我們用表格整理數(shù)據(jù)

我們用{X=0,Y=1}表示事件{X=0}和{Y=1}的積事件,用{X=1,Y=1}表示事件{X=1}和{Y=1}的積事件,根據(jù)古典概型和條件概率的計(jì)算公式,我們有

P(Y=1|X=0)==≈0.633；P(Y=1|X=1)==≈0.787

由P(Y=1|X=1)>P(Y=1|X=0)

可以作出判斷,在該校的學(xué)生中,性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,即該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異,而且男生更經(jīng)常鍛煉。

在實(shí)踐中,由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高,人們經(jīng)常按研究問(wèn)題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì),并做成表格加以保存,我們將下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為22列聯(lián)表(contingency table).

22列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù),以右表為例,它包含了X和Y的如下信息:

最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);

最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);

中間的四個(gè)格中的數(shù)是表格的核心部分,給出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);

右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)。

三、典例解析

例1.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平,采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀;乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀,試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.

解:用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以Ω為樣本空間的古典概型.對(duì)于Ω中每一名學(xué)生,定義分類變量X和Y如下:，,

我們將所給數(shù)據(jù)整理成表（單位：人）

表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的22列聯(lián)表:最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件(Y=0)和(Y=1)的頻數(shù);最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件(X=0)和(X=1)的頻數(shù);中間的四個(gè)格中的數(shù)是事件(X=x,Y=y)(x,y=0,1)的頻數(shù);

甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為≈0.7674和≈ 0.2326;

乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為≈ 0.8444和≈ 0.1556

我們可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計(jì)算結(jié)果,如圖所示

左邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率;右邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率,通過(guò)比較發(fā)現(xiàn),兩個(gè)學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率存在差異,甲校的頻率明顯高于乙校的頻率,依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,我們可以推斷P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).

也就是說(shuō),如果從甲校和乙校各隨機(jī)選取一名學(xué)生,那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率,因此,可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異,甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高。

2.兩個(gè)分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析的方法：

(1)頻率分析法：通過(guò)對(duì)樣本的每個(gè)分類變量的不同類別事件發(fā)生的頻率大小進(jìn)行比較來(lái)分析分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系.如可以通過(guò)列聯(lián)表中值的大小粗略地判斷分類變量x和Y之間有無(wú)關(guān)系.一般其值相差越大,分類變量有關(guān)系的可能性越大.

(2)圖形分析法：與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類變 量間是否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)用高度相同的兩個(gè)條形圖表示出來(lái)，其中兩列的數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)不同的顏色，這就是等高堆積條形圖.

等高堆積條形圖可以展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，能夠直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響.

問(wèn)題2.你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯(cuò)誤的？

有可能

“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來(lái)的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際上是沒(méi)有差別的.對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.

“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來(lái)的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際上是沒(méi)有差別的.對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.

考慮以Ω為樣本空間的古典概型,設(shè)X和Y為定義在Ω上,取值于{0,1}的成對(duì)分類變量,我們希望判斷事件{X=1}和{Y=1}之間是否有關(guān)聯(lián)。注意到{X=0}和{X=1}, {Y=0}和{Y=1}都是互對(duì)立事件,與前面的討論類似,我們需要判斷下面的假定關(guān)系H₀:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常稱H₀為零假設(shè)或原假設(shè)(null hypothesis).

P(Y=1|X=0)表示從{X=0}中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn),該樣本點(diǎn)屬于{X=0,Y=1}的概率;

P(Y=1|X=1)表示從{X=1}中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn),該樣本點(diǎn)屬于{X=1,Y=1}的概率。

由條件概率的定義可知,零假設(shè)H₀等價(jià)于=

或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). ①

考慮以Ω為樣本空間的古典概型,設(shè)X和Y為定義在Ω上,取值于{0,1}的成對(duì)分類變量,我們希望判斷事件{X=1}和{Y=1}之間是否有關(guān)聯(lián)。注意到{X=0}和{X=1}, {Y=0}和{Y=1}都是互對(duì)立事件,與前面的討論類似,我們需要判斷下面的假定關(guān)系H₀:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常稱H₀為零假設(shè)或原假設(shè)(null hypothesis).P(Y=1|X=0)表示從{X=0}中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn),該樣本點(diǎn)屬于{X=0,Y=1}的概率;

P(Y=1|X=1)表示從{X=1}中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn),該樣本點(diǎn)屬于{X=1,Y=1}的概率。

由條件概率的定義可知,零假設(shè)H₀等價(jià)于=

或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). ①

注意到(X=0)和(X=1)為對(duì)立事件,于是P(X=0)=1-P(X=1).

再由概率的性質(zhì),我們有P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1).

由此推得①式等價(jià)于P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1).

因此,零假設(shè)H₀等價(jià)于{X=1}與{Y=1}獨(dú)立。

根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的概率知識(shí),下面的四條性質(zhì)彼此等價(jià):

{ X=0}與{Y=0}獨(dú)立;{X=0}與{Y=1}獨(dú)立;{X=1}與{Y=0}獨(dú)立;{X=1}與{Y=1}獨(dú)立。

以上性質(zhì)成立,我們就稱分類變量X和Y獨(dú)立,這相當(dāng)于下面四個(gè)等式成立;

P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0); P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1);

P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0); P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1). ②

我們可以用概率語(yǔ)言,將零假設(shè)改述為H₀:分類變量X和Y獨(dú)立.

假定我們通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表,如下表所示。

表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的22列聯(lián)表:最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}的頻數(shù);最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}的頻數(shù);中間的四個(gè)數(shù)a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x, y=0,1)的頻數(shù);右下角格中的數(shù)n是樣本容量。

問(wèn)題3:如何基于②中的四個(gè)等式及列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量,對(duì)成對(duì)分類變量X和Y是否相互獨(dú)立作出推斷?

在零假設(shè)H₀成立的條件下,根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,由②中的第一個(gè)等式,我們可以用概率P(X=0)和P(Y=0)對(duì)應(yīng)的頻率的乘積估計(jì)概率P(X=0,Y=0),而把視為事件{X=0.Y=0}發(fā)生的頻數(shù)的期望值(或預(yù)期值).

這樣,該頻數(shù)的觀測(cè)值a和期望值應(yīng)該比較接近.

綜合②中的四個(gè)式子,如果零假設(shè)H₀成立,下面四個(gè)量的取值都不應(yīng)該太大: ③反之,當(dāng)這些量的取值較大時(shí),就可以推斷H₀不成立。

分別考慮③中的四個(gè)差的絕對(duì)值很困難,我們需要找到一個(gè)既合理又能夠計(jì)算分布的統(tǒng)計(jì)量,來(lái)推斷H₀是否成立.

一般來(lái)說(shuō),若頻數(shù)的期望值較大,則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較大;而若頻數(shù)的期望值較小,則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較小.

為了合理地平衡這種影響,我們將四個(gè)差的絕對(duì)值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和,得到如下的統(tǒng)計(jì)量:該表達(dá)式可化簡(jiǎn)為：.

統(tǒng)計(jì)學(xué)家建議,用隨機(jī)變量取值的大小作為判斷零假設(shè)H₀是否成立的依據(jù),當(dāng)它比較大時(shí)推斷H₀不成立,

否則認(rèn)為H₀成立.

問(wèn)題4:那么,究竟大到什么程度,可以推斷H₀不成立呢?或者說(shuō),怎樣確定判斷大小的標(biāo)準(zhǔn)呢?

根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生的規(guī)律, 可以通過(guò)確定一個(gè)與H₀相矛盾的小概率事件來(lái)實(shí)現(xiàn),在假定H₀的條件下,對(duì)于有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,當(dāng)樣本容量n充分大時(shí),統(tǒng)計(jì)學(xué)家得到了的近似分布,忽略的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后,對(duì)于任何小概率值α,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)x_α,

使得下面關(guān)系成立:P(≥x_α)=α ④

我們稱x_α為α的臨界值,這個(gè)臨界值就可作為判斷大小的標(biāo)準(zhǔn),概率值α越小,臨界值x_α越大,當(dāng)總體很大時(shí),抽樣有、無(wú)放回對(duì)的分布影響較小.因此,在應(yīng)用中往往不嚴(yán)格要求抽樣必須是有放回的.

由④式可知,只要把概率值α取得充分小,在假設(shè)H₀成立的情況下,事件不大可能發(fā)生的.根據(jù)這個(gè)規(guī)律,如果該事件發(fā)生,我們就可以推斷H₀不成立.不過(guò)這個(gè)推斷有可能犯錯(cuò)誤,但犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)α.

獨(dú)立性檢驗(yàn)公式及定義：

提出零假設(shè)(原假設(shè))H₀:分類變量X和Y獨(dú)立，假定我們通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，在列聯(lián)表中，如果零假設(shè)H₀成立，則應(yīng)滿足，即ad-bc≈0.因此|ad?bc|越小,說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越弱;|ad?bc|越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越強(qiáng).

臨界值的定義：

對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)x_α，使得P(χ²≥x_α)=α成立，我們稱x_α為α的臨界值，這個(gè)臨界值可作為判斷χ²大小的標(biāo)準(zhǔn)，概率值α越小，臨界值x_α越大.

基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：

當(dāng)χ²≥x_α時(shí)，我們就推斷H₀不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；

當(dāng)χ²α時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H₀不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.

用χ²取值的大小作為判斷零假設(shè)H₀是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷H₀不成立，否則認(rèn)為H₀成立。這種利用χ²的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ²獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

χ²獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

例2：依據(jù)小概率值=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析例1中的抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異？

解：零假設(shè)為H₀：分類變量X與Y相互獨(dú)立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無(wú)差異.因?yàn)?/span>

所以x_0.1

根據(jù)小概率值=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H₀不成立，因此可以認(rèn)為H₀成立，即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異。

問(wèn)題5.例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析,但卻得出了不同的結(jié)論,你能說(shuō)明其中的原因嗎?

例1只是根據(jù)一個(gè)樣本的兩個(gè)頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異的結(jié)論,并沒(méi)有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤,所以那里的推斷依據(jù)不太充分,在本例中,我們用獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)零假設(shè)H₀進(jìn)行了檢驗(yàn),通過(guò)計(jì)算,發(fā)現(xiàn)≈0.837小于α=0.1所對(duì)應(yīng)的臨界值2.706,因此認(rèn)為沒(méi)有充分證據(jù)推斷H₀不成立,所以接受H₀,推斷出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)優(yōu)秀率沒(méi)有顯著差異的結(jié)論,

這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果意味著,抽樣數(shù)據(jù)中兩個(gè)頻率的差異很有可能是由樣本隨機(jī)性導(dǎo)致的,因此,只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的。

由此可見(jiàn),相對(duì)于簡(jiǎn)單比較兩個(gè)頻率的推斷,用獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)果更理性、更全面,理論依據(jù)也更充分。

當(dāng)我們接受零假設(shè)H₀時(shí),也可能犯錯(cuò)誤。我們不知道犯這類錯(cuò)誤的概率p的大小,但是知道,若α越大,則p越小

例3.某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.

解：零假設(shè)為H₀：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒(méi)有差異.

將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，

不影響

問(wèn)題6.若對(duì)調(diào)兩種療法的位置或?qū)φ{(diào)兩種療效的位置，這樣做會(huì)影響取值的計(jì)算結(jié)果嗎？

例4.為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)。

解：零假設(shè)為H₀：吸煙和患肺癌之間沒(méi)有關(guān)系根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算的根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H₀不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001，即我們有99.9％的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.

可見(jiàn)，在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌頻率的4倍以上。于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為吸煙者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌。

應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié)：

（1）提出零假設(shè)H₀：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋.

（2）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出22列聯(lián)表，計(jì)算的值，并與臨界值比較.

（3）根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.

（4）在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.

注意：上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整，

例如，在有些時(shí)候，分類變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問(wèn)題中給定的.

歸納總結(jié)

跟蹤訓(xùn)練1.某校對(duì)學(xué)生的課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表

即我們得到的的觀測(cè)值χ≈8.106超過(guò)7.879這就意味著：“喜歡體育還是文娛與性別沒(méi)有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性小于0.005，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)．”

通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。從而分類變量獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過(guò)問(wèn)題分析，讓學(xué)生理解運(yùn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)具體的問(wèn)題情境中的分析，深化對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典型例題的分析解決，提升學(xué)生對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的理解和運(yùn)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.給出下列實(shí)際問(wèn)題:

①一種藥物對(duì)某種病的治愈率;②兩種藥物治療同一種病是否有區(qū)別;

③吸煙者得肺病的概率;④吸煙是否與性別有關(guān)系;

⑤網(wǎng)吧與青少年的犯罪是否有關(guān)系.其中用獨(dú)立性檢驗(yàn)可以解決的問(wèn)題有( )

A.①②③ B.②④⑤ C.②③④⑤ D.①②③④⑤

解析:獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的方法,而①③都是概率問(wèn)題,不能用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決.

答案:B

2.某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查,數(shù)據(jù)如下表:

下列敘述中,正確的是( )

A.有99%的把握認(rèn)為“喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少有關(guān)系”

B.有95%的把握認(rèn)為“喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少無(wú)關(guān)系”

C.有99%的把握認(rèn)為“喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少無(wú)關(guān)系”

D.有95%的把握認(rèn)為“喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少有關(guān)系”

計(jì)算得χ²=≈5.059>3.841.

答案:D

3.某高?！督y(tǒng)計(jì)》課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況,具體數(shù)據(jù)如下表:

為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),得到

因?yàn)?/span>4.844>3.841,所以有 的把握判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系.

χ²=≈4.844.

答案:95%

4.在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。問(wèn)：該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？

解：設(shè)H₀：感冒與是否使用該血清沒(méi)有關(guān)系。

因當(dāng)H₀成立時(shí)， χ²≥6.635的概率約為0.01，故有99%的把握認(rèn)為該血清能起到預(yù)防感冒的作用。

5.隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加,城市的空氣污染越來(lái)越嚴(yán)重,空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下,對(duì)人體的呼吸系統(tǒng)造成了嚴(yán)重的影響.現(xiàn)調(diào)查了某市500名居民的工作場(chǎng)所和呼吸系統(tǒng)健康情況,得到22列聯(lián)表如下:

(1)補(bǔ)全22列聯(lián)表;

(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場(chǎng)所有關(guān)?

(3)現(xiàn)采用分層抽樣從室內(nèi)工作的居民中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)地抽取兩人,求兩人都有呼吸系統(tǒng)疾病的概率.

解:(1)列聯(lián)表如下:

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場(chǎng)所有關(guān).

(2)χ²=≈3.968>3.841.

(3)采用分層抽樣從室內(nèi)工作的居民中抽取6名,其中有呼吸系統(tǒng)疾病的抽4人,無(wú)呼吸系統(tǒng)疾病的抽2人,設(shè)A為“從中隨機(jī)地抽取兩人,兩人都有呼吸系統(tǒng)疾病”,則

P(A)=.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。