函數(shù)零點(diǎn)與方程的解教學(xué)設(shè)計(jì)（1）

本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第四章第4.5.1節(jié)《函數(shù)零點(diǎn)與方程的解》，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，本節(jié)課的內(nèi)容就是在此基礎(chǔ)上的推廣。從而建立一般的函數(shù)的零點(diǎn)概念，進(jìn)一步理解零點(diǎn)判定定理及其應(yīng)用。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

課件教案

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

1、了解函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點(diǎn)的概念；

2、理解函數(shù)零點(diǎn)與方程的根以及函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系,掌握零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用；

3、在認(rèn)識函數(shù)零點(diǎn)的過程中，使學(xué)生學(xué)會認(rèn)識事物的特殊性與一般性之間的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合及函數(shù)思想；

a.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)零點(diǎn)的概念；

b.邏輯推理：零點(diǎn)判定定理；

c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用零點(diǎn)判定定理確定零點(diǎn)范圍；

d.直觀想象：運(yùn)用圖形判定零點(diǎn)；

e.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)方程的根；

教學(xué)重點(diǎn)：零點(diǎn)的概念及存在性的判定；

教學(xué)難點(diǎn)：零點(diǎn)的確定．

多媒體

教學(xué)過程

設(shè)計(jì)意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

問題1 求下列方程的根．

（1）；（2）；（3）；

解方程的歷史

（二）問題探究

探究1：觀察函數(shù)的圖象思考：

方程	x2-2x-3=0	x2-2x+1=0	x2-2x+3=0
根	x1=-1，x2=3	x1=x2=1	無實(shí)數(shù)根
函數(shù)	y=x2-2x-3	y=x2-2x+1	y=x2-2x+3
圖象
圖象與x軸的交點(diǎn)	兩個(gè)交點(diǎn)： (-1,0)(3,0)	一個(gè)交點(diǎn)：(1,0)	沒有交點(diǎn)

1.方程的根與函數(shù)的圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有什么關(guān)系?

1).方程根的個(gè)數(shù)和對應(yīng)函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.

2).方程的根是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3).若一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則相應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn).

思考：若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系，上述結(jié)論是否仍然成立？

判別式Δ	Δ＞0	Δ＝0	Δ＜0
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根	兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2	有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1 = x2	沒有實(shí)數(shù)根
函數(shù)y=ax2+bx+c (a>0)的圖象
函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)	兩個(gè)交點(diǎn)： (x1,0)，(x2,0)	一個(gè)交點(diǎn)： (x1,0)	無交點(diǎn)

一元二次方程的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則相應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)。

推廣到更一般的情況，得：

零點(diǎn)：對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)嗎？

問題1: 零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，零點(diǎn)指的是一個(gè)實(shí)數(shù).

問題2: 試歸納函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)說法？

跟蹤訓(xùn)練1．思考辨析

(1)所有的函數(shù)都有零點(diǎn)．( )

(2)若方程f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)為(x1,0)(x2,0)．( )

(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)，則一定有f(a)f(b)<0.( )

2．函數(shù)y＝2x－1的零點(diǎn)是( )

A. B. C. D．2

A [由2x－1＝0得x＝.]

零點(diǎn)存在性定理的探索．

問題5：結(jié)合圖像，試用恰當(dāng)?shù)恼Z言表述如何判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)？

觀察函數(shù)的圖象：

①在區(qū)間(a，b)上___(有/無)零點(diǎn)；f(a)f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．

②在區(qū)間(b，c)上___(有/無)零點(diǎn)；f(b)f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．

③在區(qū)間(c，d)上___(有/無)零點(diǎn)；f(c)f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．

零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點(diǎn).即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c就是方程f(x)=0的根.

定理解讀

思考1:為什么強(qiáng)調(diào)“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象一條不間斷的曲線”？如果函數(shù)圖象不連續(xù)，或者y=f(x)不滿足f(a)f(b) <0，那么零點(diǎn)存在性定理還成立嗎？

例１求方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

分析：可以先借助計(jì)算工具畫出函數(shù)的圖象

或列出，的對應(yīng)值表，為觀察、判斷零點(diǎn)所在區(qū)間提供幫助．

解：設(shè)函數(shù)，利用計(jì)算工具，列出函數(shù)的對應(yīng)值表

并畫出圖象由表和圖可知，，，則．由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間（２，３）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

容易證明，函數(shù)，∈（０，＋∞）是增函數(shù)，

所以它只有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

通過對一元二次方程與二次函數(shù)關(guān)系的回顧，提出新的問題，提出運(yùn)用函數(shù)求解方程的思路；培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。